Calcolo Esempi

$y = \frac{u + 1}{u}$ , $u = 2 x^{3}$

Passaggio 1

La regola della catena afferma che la derivata di $y$ rispetto a $x$ è uguale alla derivata di $y$ rispetto a $u$ per la derivata di $u$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Passaggio 2

Trova $\frac{d y}{d u}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ è $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ dove $f (u) = u + 1$ e $g (u) = u$ .

$\frac{u \frac{d}{d u} [u + 1] - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $u + 1$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{u (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{u (1 + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $1$ rispetto a $u$ è $0$ .

$\frac{u (1 + 0) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{u \cdot 1 - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $u$ per $1$ .

$\frac{u - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{u - (u + 1) \cdot 1}{u^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{u - (u + 1)}{u^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{u - u - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $u$ da $u$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $1 \cdot 1$ da $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1}{u^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{u^{2}}$

Passaggio 3

Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2}$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{d y}{d u}$ per $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro $(6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $(6 x^{2}) (- \frac{1}{u^{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{2} \frac{1}{u^{2}}$

Passaggio 5.1.2

$- 6$ e $\frac{1}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{- 6}{u^{2}})$

Passaggio 5.1.3

$x^{2}$ e $\frac{- 6}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 6}{u^{2}}$

Passaggio 5.2

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 \cdot x^{2}}{u^{2}}$

Passaggio 5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci il valore di $u$ nella derivata $- \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3})}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{2^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 7.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 {(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 7.1.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{6}}$

Passaggio 7.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{4 x^{6}}$

Passaggio 7.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $4 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Passaggio 7.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Passaggio 7.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 x^{6}}$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2 x^{6}}$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Passaggio 7.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Passaggio 7.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{4}}$