Calcolo Esempi

$y = u^{2} + u - 2$ , $u = \frac{1}{x}$

Passaggio 1

La regola della catena afferma che la derivata di $y$ rispetto a $x$ è uguale alla derivata di $y$ rispetto a $u$ per la derivata di $u$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Passaggio 2

Trova $\frac{d y}{d u}$ .

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $u^{2} + u - 2$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 u + 1 + \frac{d}{d u} [- 2]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $u$ è $0$ .

$2 u + 1 + 0$

Passaggio 2.5

Somma $2 u + 1$ e $0$ .

$2 u + 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{d y}{d u}$ per $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro $(- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$ .

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \cdot (2 u) - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- \frac{1}{x^{2}} (2 u)$ .

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Passaggio 5.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Passaggio 5.2.3

$\frac{- 2}{x^{2}}$ e $u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci il valore di $u$ nella derivata $- \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (\frac{1}{x})}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{2}{x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7.3

Combina.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7.4

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 7.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$