Calcolo Esempi

$w = u^{3}$ , $u = \frac{t - 1}{t + 1}$

Passaggio 1

La regola della catena afferma che la derivata di $w$ rispetto a $t$ è uguale alla derivata di $w$ rispetto a $u$ per la derivata di $u$ rispetto a $t$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2}$

Passaggio 3

Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t - 1$ e $g (t) = t + 1$ .

$\frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(t + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(t + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $t + 1$ per $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1)}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t + 1 - t - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.2.1

Combina i termini opposti in $t + 1 - t - - 1$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1

Sottrai $t$ da $t$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{d w}{d u}$ per $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro $(\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d w}{d t} = 3 (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot u^{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $3 \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

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Passaggio 5.2.1

$3$ e $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{3 \cdot 2}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Passaggio 5.3

$\frac{6}{{(t + 1)}^{2}}$ e $u^{2}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci il valore di $u$ nella derivata $\frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(\frac{t - 1}{t + 1})}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica il risultato.

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Passaggio 7.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{t - 1}{t + 1}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 (\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}})}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

$6$ e $\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{\frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4

Combina.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2} {(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5

Moltiplica ${(t + 1)}^{2}$ per ${(t + 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.5.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2 + 2}}$

Passaggio 7.5.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{4}}$

Passaggio 7.6

Moltiplica $6 {(t - 1)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{4}}$