Calcolo Esempi

$\frac{2 x}{z^{2} - y^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ è $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ dove $f (z) = 2 x$ e $g (z) = z^{2} - y^{2}$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \frac{d}{d z} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $z$ è $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $z^{2} - y^{2}$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}]$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $z$ è $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + 0)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $2 z$ e $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{z^{2} \cdot 0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $z^{2}$ per $0$ .

$\frac{0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- y^{2} \cdot 0$ .

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Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{0 + 0 y^{2} - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $y^{2}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Passaggio 3.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{0 + 0 - 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{0 + 0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Combina i termini opposti in $0 + 0 - 4 x z$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $4 x z$ da $0$ .

$\frac{- 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = z$ e $b = y$ .

$- \frac{4 x z}{{((z + y) (z - y))}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Applica la regola del prodotto a $(z + y) (z - y)$ .

$- \frac{4 x z}{{(z + y)}^{2} {(z - y)}^{2}}$