Calcolo Esempi

$A = 2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d A} (A) = \frac{d}{d A} (2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ è $n A^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2000$ è costante rispetto a $A$ , la derivata di $2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$ rispetto a $A$ è $2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$ .

$2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ è $f' (g (A)) g' (A)$ dove $f (A) = A^{60}$ e $g (A) = 1 + \frac{r}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (\frac{d}{d u} [u^{60}] \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 60$ .

$2000 (60 u^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (60 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $60$ per $2000$ .

$120000 ({(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{r}{12}$ rispetto a $A$ è $\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $A$ , la derivata di $1$ rispetto a $A$ è $0$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (0 + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Passaggio 3.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$

Passaggio 3.3.5

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $A$ , la derivata di $\frac{r}{12}$ rispetto a $A$ è $\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r])$

Passaggio 3.3.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

$\frac{1}{12}$ e $120000$ .

$\frac{120000}{12} {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Passaggio 3.3.6.2

$\frac{120000}{12}$ e ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Passaggio 3.3.6.3

Elimina il fattore comune di $120000$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.3.1

Scomponi $12$ da $120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Passaggio 3.3.6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.3.2.1

Scomponi $12$ da $12$ .

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 (1)} \frac{d}{d A} [r]$

Passaggio 3.3.6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 \cdot 1} \frac{d}{d A} [r]$

Passaggio 3.3.6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{1} \frac{d}{d A} [r]$

Passaggio 3.3.6.3.2.4

Dividi $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ per $1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d A} [r]$ come $r'$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = 10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Passaggio 5

Risolvi per $r'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$

Passaggio 5.2

Dividi per $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ ciascun termine in $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ ciascun termine in $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ .

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $r'$ per $1$ .

$r' = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.3.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12}{12} + \frac{r}{12})}^{59}}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12 + r}{12})}^{59}}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{12 + r}{12}$ .

$r' = \frac{1}{10000 \frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Passaggio 5.2.3.2

$10000$ e $\frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}$ .

$r' = \frac{1}{\frac{10000 {(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$r' = 1 \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Passaggio 5.2.3.4

Moltiplica $\frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$ per $1$ .

$r' = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Passaggio 6

Sostituisci $r'$ con $\frac{d r}{d A}$ .

$\frac{d r}{d A} = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$