Calcolo Esempi

$q = \sqrt{20 r - r^{7}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{20 r - r^{7}}$ come ${(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} ({(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $q$ rispetto a $r$ è $q'$ .

$q'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ e $g (r) = 20 r - r^{7}$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $20 r - r^{7}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $20 r - r^{7}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Passaggio 4.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Passaggio 4.6.2

$\frac{1}{2}$ e ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Passaggio 4.6.3

Sposta ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Passaggio 4.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 r - r^{7}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Passaggio 4.8

Poiché $20$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $20 r$ rispetto a $r$ è $20 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Passaggio 4.10

Moltiplica $20$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Passaggio 4.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- r^{7}$ rispetto a $r$ è $- \frac{d}{d r} [r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - \frac{d}{d r} [r^{7}])$

Passaggio 4.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - (7 r^{6}))$

Passaggio 4.13

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$

Passaggio 4.14

Semplifica.

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Passaggio 4.14.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$ .

$(20 - 7 r^{6}) \frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14.2

Moltiplica $20 - 7 r^{6}$ per $\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$q' = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $q'$ con $\frac{d q}{d r}$ .

$\frac{d q}{d r} = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$