Calcolo Esempi

$q = \sqrt{15 r - r^{7}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15 r - r^{7}}$ come ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d q} (q) = \frac{d}{d q} ({(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ è $n q^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ è $f' (g (q)) g' (q)$ dove $f (q) = q^{\frac{1}{2}}$ e $g (q) = 15 r - r^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $15 r - r^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $15 r - r^{7}$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Passaggio 4.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Passaggio 4.6.2

$\frac{1}{2}$ e ${(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Passaggio 4.6.3

Sposta ${(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Passaggio 4.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 r - r^{7}$ rispetto a $q$ è $\frac{d}{d q} [15 r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d q} [15 r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

Passaggio 4.8

Poiché $15$ è costante rispetto a $q$ , la derivata di $15 r$ rispetto a $q$ è $15 \frac{d}{d q} [r]$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 \frac{d}{d q} [r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

Passaggio 4.9

Riscrivi $\frac{d}{d q} [r]$ come $r'$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

Passaggio 4.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $q$ , la derivata di $- r^{7}$ rispetto a $q$ è $- \frac{d}{d q} [r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - \frac{d}{d q} [r^{7}])$

Passaggio 4.11

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ è $f' (g (q)) g' (q)$ dove $f (q) = q^{7}$ e $g (q) = r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $r$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d q} [r]))$

Passaggio 4.11.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

Passaggio 4.11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $r$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (7 r^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

Passaggio 4.12

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - 7 (r^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

Passaggio 4.13

Riscrivi $\frac{d}{d q} [r]$ come $r'$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - 7 r^{6} r')$

Passaggio 4.14

Semplifica.

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Passaggio 4.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r') + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

Passaggio 4.14.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.14.2.1

$15$ e $\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} r' + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

Passaggio 4.14.2.2

$\frac{15}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ e $r'$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

Passaggio 4.14.2.3

$- 7$ e $\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (r^{6} r')$

Passaggio 4.14.2.4

$r^{6}$ e $\frac{- 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{r^{6} \cdot - 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} r'$

Passaggio 4.14.2.5

$\frac{r^{6} \cdot - 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ e $r'$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{r^{6} \cdot - 7 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14.2.6

Sposta $- 7$ alla sinistra di $r^{6}$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7 \cdot r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14.3

Riordina i termini.

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = - \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Risolvi per $r'$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Passaggio 6.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 6.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 6.2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 6.2.3

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 6.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 6.2.5

Il minimo comune multiplo di $2, 2, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 6.2.6

Il fattore di $15 r - r^{7}$ è $15 r - r^{7}$ stesso.

$(15 r - r^{7}) = 15 r - r^{7}$

$(15 r - r^{7})$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 6.2.7

Il minimo comune multiplo di ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.8

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica per $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ per $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$\frac{- 7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 7 r^{6} r' + 2 \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 7 r^{6} r' + 2 \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{{(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{{(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 7 r^{6} r' + 15 r' = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- 7 r^{6} r' + 15 r' = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $r'$ da $- 7 r^{6} r' + 15 r'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Scomponi $r'$ da $- 7 r^{6} r'$ .

$r' (- 7 r^{6}) + 15 r' = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4.1.2

Scomponi $r'$ da $15 r'$ .

$r' (- 7 r^{6}) + r' \cdot 15 = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4.1.3

Scomponi $r'$ da $r' (- 7 r^{6}) + r' \cdot 15$ .

$r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.4.2

Dividi per $- 7 r^{6} + 15$ ciascun termine in $r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Dividi per $- 7 r^{6} + 15$ ciascun termine in $r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{r' (- 7 r^{6} + 15)}{- 7 r^{6} + 15} = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 7 r^{6} + 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r' (- 7 r^{6} + 15)}{- 7 r^{6} + 15} = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

Passaggio 6.4.2.2.1.2

Dividi $r'$ per $1$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

Passaggio 6.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Scomponi $- 1$ da $- 7 r^{6}$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6}) + 15}$

Passaggio 6.4.2.3.2

Riscrivi $15$ come $- 1 (- 15)$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6}) - 1 (- 15)}$

Passaggio 6.4.2.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (7 r^{6}) - 1 (- 15)$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6} - 15)}$

Passaggio 6.4.2.3.4

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.4.1

Riscrivi $- (7 r^{6} - 15)$ come $- 1 (7 r^{6} - 15)$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 1 (7 r^{6} - 15)}$

Passaggio 6.4.2.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r' = - \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{7 r^{6} - 15}$

Passaggio 7

Sostituisci $r'$ con $\frac{d r}{d q}$ .

$\frac{d r}{d q} = - \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{7 r^{6} - 15}$