Calcolo Esempi

$R = 5 \tan^{2} (3 π t)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (R) = \frac{d}{d t} (5 \tan^{2} (3 π t))$

Passaggio 2

La derivata di $R$ rispetto a $t$ è $R'$ .

$R'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 \tan^{2} (3 π t)$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \tan (3 π t)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (3 π t)$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (3 π t)$ .

$5 (2 \tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 (\tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = 3 π t$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 π t$ .

$10 \tan (3 π t) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 π t])$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 π t])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 π t$ .

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (3 π t) \frac{d}{d t} [3 π t])$

Passaggio 3.5

Differenzia.

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Passaggio 3.5.1

Poiché $3 π$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 π t$ rispetto a $t$ è $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (3 π \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $3$ per $10$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \cdot 1)$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$

Passaggio 3.5.4.2

Riordina i fattori di $30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$ .

$30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$R' = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

Passaggio 5

Sostituisci $R'$ con $\frac{d R}{d t}$ .

$\frac{d R}{d t} = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$