Calcolo Esempi

$P = \frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d r} (P) = \frac{d}{d r} (\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}})$

Passaggio 2

La derivata di $P$ rispetto a $r$ è $P'$ .

$P'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $B^{3}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$ rispetto a $r$ è $B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$ .

$B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ è $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ dove $f (r) = r$ e $g (r) = R^{2} + R r + r^{2}$ .

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $R^{2} + R r + r^{2}$ per $1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $R^{2} + R r + r^{2}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $R^{2}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $R^{2}$ rispetto a $r$ è $0$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (0 + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d r} [R r]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.6

Poiché $R$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $R r$ rispetto a $r$ è $R \frac{d}{d r} [r]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \cdot 1 + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $R$ per $1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.10

$B^{3}$ e $\frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r R - r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Combina i termini opposti in $B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $B^{3} (R r)$ e $B^{3} (- r R)$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} R r + B^{3} r^{2} - B^{3} R r + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.1.2

Sottrai $B^{3} R r$ da $B^{3} R r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + 0 + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.1.3

Somma $B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2}$ e $0$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r \cdot r}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2.2

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.2.1

Sposta $r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} (r \cdot r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2.2.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.3

Sottrai $2 B^{3} r^{2}$ da $B^{3} r^{2}$ .

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Riordina i termini.

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Scomponi $B^{3}$ da $B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1

Scomponi $B^{3}$ da $B^{3} R^{2}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2}) - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.1.2

Scomponi $B^{3}$ da $- B^{3} r^{2}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.1.3

Scomponi $B^{3}$ da $B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})$ .

$\frac{B^{3} (R^{2} - r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = R$ e $b = r$ .

$\frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$P' = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $P'$ con $\frac{d P}{d r}$ .

$\frac{d P}{d r} = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$