Calcolo Esempi

$s = 10 \sqrt{t^{4} + 25} - 50$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t^{4} + 25}$ come ${(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$s = 10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50)$

Passaggio 3

La derivata di $s$ rispetto a $t$ è $s'$ .

$s'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$ .

$\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 4.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = t^{4} + 25$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{4} + 25$ .

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{4} + 25$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{4} + 25$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.5

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $25$ rispetto a $t$ è $0$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.11

Somma $4 t^{3}$ e $0$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.12

$\frac{1}{2}$ e ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.13

$4$ e $\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$10 (\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.14

$\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $t^{3}$ .

$10 \frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} t^{3}}{2} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.15

Sposta ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{4 t^{3}}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.16

Scomponi $2$ da $4 t^{3}$ .

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.17

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.17.1

Scomponi $2$ da $2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.17.2

Elimina il fattore comune.

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.17.3

Riscrivi l'espressione.

$10 \frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.18

$10$ e $\frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.2.19

Moltiplica $2$ per $10$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $- 50$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 50$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$s' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $s'$ con $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$