Calcolo Esempi

$s = t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} + \frac{9}{t^{2}})$

Passaggio 2

La derivata di $s$ rispetto a $t$ è $s'$ .

$s'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{9}{t^{2}}$ rispetto a $t$ è $9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$2 t + 9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{t^{2}}$ come ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$2 t + 9 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t^{2}$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{2}$ .

$2 t + 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 t + 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{2}$ .

$2 t + 9 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 t + 9 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 t + 9 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 t + 9 (- t^{- 4} (2 t))$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 t + 9 (- 2 t^{- 4} t)$

Passaggio 3.2.7

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$2 t + 9 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Passaggio 3.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 t + 9 (- 2 t^{1 - 4})$

Passaggio 3.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$2 t + 9 (- 2 t^{- 3})$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$2 t - 18 t^{- 3}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 t - 18 \frac{1}{t^{3}}$

Passaggio 3.3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.2.1

$- 18$ e $\frac{1}{t^{3}}$ .

$2 t + \frac{- 18}{t^{3}}$

Passaggio 3.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 t - \frac{18}{t^{3}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$s' = 2 t - \frac{18}{t^{3}}$

Passaggio 5

Sostituisci $s'$ con $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = 2 t - \frac{18}{t^{3}}$