Calcolo Esempi

$w = \log_{8} (2^{p} - 1)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d p} (w) = \frac{d}{d p} (\log_{8} (2^{p} - 1))$

Passaggio 2

La derivata di $w$ rispetto a $p$ è $w'$ .

$w'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ è $f' (g (p)) g' (p)$ dove $f (p) = \log_{8} (p)$ e $g (p) = 2^{p} - 1$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2^{p} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\log_{8} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (8)}$ .

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2^{p} - 1$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2^{p} - 1$ rispetto a $p$ è $\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ è $a^{p} \ln (a)$ dove $a$ = $2$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + \frac{d}{d p} [- 1])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $p$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $p$ è $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + 0)$

Passaggio 3.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.4.2.1

Somma $2^{p} \ln (2)$ e $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2))$

Passaggio 3.4.2.2

$2^{p}$ e $\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ .

$\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \ln (2)$

Passaggio 3.4.2.3

$\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ e $\ln (2)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - 1 \ln (8)}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $- 1 \ln (8)$ come $- \ln (8)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$w' = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Passaggio 5

Sostituisci $w'$ con $\frac{d w}{d p}$ .

$\frac{d w}{d p} = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$