Calcolo Esempi

$v = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}})$

Passaggio 2

La derivata di $v'$ rispetto a $x$ è $v''$ .

$v''$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $x + 1$ da $- 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $x + 1$ da $(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.10

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.10.3

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$2 \frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.10.4

$2$ e $\frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.11.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{- 2 x + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11.3

Scomponi $2$ da $- 2 x + 2$ .

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Passaggio 3.11.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11.3.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11.5

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11.7

Riscrivi $- (x - 1)$ come $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$v'' = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 5

Sostituisci $v'$ con $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{d v}{d x} = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$