Calcolo Esempi

$f = (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d r} (f) = \frac{d}{d r} ((- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7))$

Passaggio 2

La derivata di $f$ rispetto a $r$ è $f'$ .

$f'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ è $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ dove $f (r) = - 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ e $g (r) = 4 r^{4} - 7$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) \frac{d}{d r} [4 r^{4} - 7] + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 r^{4} - 7$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $4 r^{4}$ rispetto a $r$ è $4 \frac{d}{d r} [r^{4}]$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 \frac{d}{d r} [r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 (4 r^{3}) + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $r$ è $0$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + 0) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Somma $16 r^{3}$ e $0$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3}) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $16$ alla sinistra di $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ .

$16 \cdot (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Passaggio 3.2.8

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- 6 r^{9}$ rispetto a $r$ è $- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 (9 r^{8}) + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $9$ per $- 6$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Passaggio 3.2.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $r$ è $0$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 0 + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Passaggio 3.2.12

Somma $- 54 r^{8}$ e $0$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Passaggio 3.2.13

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- \frac{9}{r^{2}}$ rispetto a $r$ è $- 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}])$

Passaggio 3.2.14

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.14.1

Riscrivi $\frac{1}{r^{2}}$ come ${(r^{2})}^{- 1}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}])$

Passaggio 3.2.14.2

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.14.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{2 \cdot - 1}])$

Passaggio 3.2.14.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{- 2}])$

Passaggio 3.2.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 (- 2 r^{- 3}))$

Passaggio 3.2.16

Moltiplica $- 2$ per $- 9$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 r^{- 3})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$(16 (- 6 r^{9}) + 16 \cdot - 1 + 16 (- \frac{9}{r^{2}})) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 (- 6 r^{9}) r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Moltiplica $- 6$ per $16$ .

$- 96 r^{9} r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.2

Moltiplica $r^{9}$ per $r^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Sposta $r^{3}$ .

$- 96 (r^{3} r^{9}) + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 96 r^{3 + 9} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.2.3

Somma $3$ e $9$ .

$- 96 r^{12} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.3

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.4

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 16 \frac{9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.5

$- 16$ e $\frac{9}{r^{2}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 16 \cdot 9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.6

Moltiplica $- 16$ per $9$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.8

$r^{3}$ e $\frac{144}{r^{2}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{3} \cdot 144}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.9

Sposta $144$ alla sinistra di $r^{3}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 \cdot r^{3}}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.10

Elimina il fattore comune di $r^{3}$ e $r^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.10.1

Scomponi $r^{2}$ da $144 r^{3}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.10.2.1

Moltiplica per $1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 r}{1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.10.2.4

Dividi $144 r$ per $1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - (144 r) + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.11

Moltiplica $144$ per $- 1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.4.12

$18$ e $\frac{1}{r^{3}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}})$

Passaggio 3.3.5

Riordina i termini.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7) - 144 r$

Passaggio 3.3.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Espandi $(- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4} - 7) + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

Passaggio 3.3.6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

Passaggio 3.3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{8} r^{4} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.2

Moltiplica $r^{8}$ per $r^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.2.1

Sposta $r^{4}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 (r^{4} r^{8}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{4 + 8} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.2.3

Somma $4$ e $8$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.3

Moltiplica $- 54$ per $4$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.4

Moltiplica $- 7$ per $- 54$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 4 \frac{18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.6

Moltiplica $4 \frac{18}{r^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.6.1

$4$ e $\frac{18}{r^{3}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{4 \cdot 18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.6.2

Moltiplica $4$ per $18$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.7

Elimina il fattore comune di $r^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.7.1

Scomponi $r^{3}$ da $r^{4}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.8

Moltiplica $\frac{18}{r^{3}} \cdot - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.8.1

$\frac{18}{r^{3}}$ e $- 7$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18 \cdot - 7}{r^{3}} - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.8.2

Moltiplica $18$ per $- 7$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{- 126}{r^{3}} - 144 r$

Passaggio 3.3.6.2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

Passaggio 3.3.7

Sottrai $216 r^{12}$ da $- 96 r^{12}$ .

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

Passaggio 3.3.8

Sottrai $144 r$ da $72 r$ .

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$f' = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

Passaggio 5

Sostituisci $f'$ con $\frac{d f}{d r}$ .

$\frac{d f}{d r} = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$