Calcolo Esempi

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8)$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $\frac{1}{3} t^{3}$ rispetto a $s$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ è $f' (g (s)) g' (s)$ dove $f (s) = s^{3}$ e $g (s) = t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $t$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $t$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d s} [t]$ come $t'$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.2.4

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.2.5

$t^{2}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.2.6

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3}$ e $t'$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3 t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.2.7

Sposta $3$ alla sinistra di $t^{2}$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.2.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.2.8.2

Dividi $t^{2} t'$ per $1$ .

$t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d s} [- 5 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $- 5 t^{2}$ rispetto a $s$ è $- 5 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ .

$t^{2} t' - 5 \frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ è $f' (g (s)) g' (s)$ dove $f (s) = s^{2}$ e $g (s) = t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t$ .

$t^{2} t' - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$t^{2} t' - 5 (2 u_{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d s} [t]$ come $t'$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t t') + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d s} [16 t]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $16 t$ rispetto a $s$ è $16 \frac{d}{d s} [t]$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $\frac{d}{d s} [t]$ come $t'$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + \frac{d}{d s} [8]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.5.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $8$ rispetto a $s$ è $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ e $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Passaggio 5

Risolvi per $t'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$

Passaggio 5.2

Scomponi $t'$ da $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $t'$ da $t^{2} t'$ .

$t' t^{2} - 10 t t' + 16 t' = 1$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $t'$ da $- 10 t t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + 16 t' = 1$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $t'$ da $16 t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $t'$ da $t' (t^{2}) + t' (- 10 t)$ .

$t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $t'$ da $t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16$ .

$t' (t^{2} - 10 t + 16) = 1$

Passaggio 5.3

Scomponi.

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $t^{2} - 10 t + 16$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $16$ e la cui somma è $- 10$ .

$- 8, - 2$

Passaggio 5.3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$t' ((t - 8) (t - 2)) = 1$

Passaggio 5.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $(t - 8) (t - 2)$ ciascun termine in $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $(t - 8) (t - 2)$ ciascun termine in $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ .

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $t - 8$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $t - 2$ .

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Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $t'$ per $1$ .

$t' = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Passaggio 6

Sostituisci $t'$ con $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$