Calcolo Esempi

$\cos (x) + \sqrt{y} = 6$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 6$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d y} (6)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$- \sin (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$- \sin (x) x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 3.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 3.3.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 3.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Poiché $6$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $6$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 6.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.1.1

Riordina i fattori in $- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- x' \sin (x) + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3

Dividi per $- \sin (x)$ ciascun termine in $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Dividi per $- \sin (x)$ ciascun termine in $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{\sin (x)}$

Passaggio 6.3.3.2

Frazioni separate.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 6.3.3.3

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \csc (x)$

Passaggio 6.3.3.4

Dividi $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \csc (x)$

Passaggio 6.3.3.5

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$