Calcolo Esempi

$x y - e^{x y} = 7$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (x y - e^{x y}) = \frac{d}{d y} (7)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y - e^{x y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- e^{x y}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

$x + y x' - \frac{d}{d y} [e^{x y}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x y$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$x + y x' - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x + y x' - (e^{u} \frac{d}{d y} [x y])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$x + y x' - (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]))$

Passaggio 2.3.5

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y x'))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + y x' - e^{x y} (x + y x')$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x + y x' - e^{x y} x - e^{x y} (y x')$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$

Passaggio 3

Poiché $7$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $7$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$ .

$y x' - x e^{x y} - y x' e^{x y} + x = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Somma $x e^{x y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x' - y x' e^{x y} + x = x e^{x y}$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x' - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

Passaggio 5.3

Scomponi $y x'$ da $y x' - y x' e^{x y}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $y x'$ da $y x'$ .

$y x' \cdot 1 - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y x'$ da $- y x' e^{x y}$ .

$y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y x'$ da $y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y})$ .

$y x' (1 - 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Passaggio 5.4

Riscrivi $- 1 e^{x y}$ come $- e^{x y}$ .

$y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Passaggio 5.5

Dividi per $y (1 - e^{x y})$ ciascun termine in $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $y (1 - e^{x y})$ ciascun termine in $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ .

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $1 - e^{x y}$ .

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Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$