Calcolo Esempi

$x \sin (3 x + 5 y) = y \cos (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (x \sin (3 x + 5 y)) = \frac{d}{d y} (y \cos (x))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = \sin (3 x + 5 y)$ .

$x \frac{d}{d y} [\sin (3 x + 5 y)] + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = 3 x + 5 y$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x + 5 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 5 y$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 5 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5 y$ rispetto a $y$ è $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5 \frac{d}{d y} [y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5 \cdot 1)) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $5$ per $1$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5)) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.8

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5)) + \sin (3 x + 5 y) x'$

Passaggio 2.9

Riordina i termini.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$y (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$y (- \sin (x) x') + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (- \sin (x) x') + \cos (x) \cdot 1$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$y (- \sin (x) x') + \cos (x)$

Passaggio 3.5.2

Riordina i termini.

$- y \sin (x) x' + \cos (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica $x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x'$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x') + x \cos (3 x + 5 y) \cdot 5 + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Passaggio 5.1.1.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + x \cos (3 x + 5 y) \cdot 5 + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Passaggio 5.1.1.1.3

Sposta $5$ alla sinistra di $x \cos (3 x + 5 y)$ .

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 \cdot (x \cos (3 x + 5 y)) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Passaggio 5.1.1.1.4

Rimuovi le parentesi.

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Passaggio 5.1.1.2

Riordina i fattori in $3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) x'$ .

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $- y \sin (x) x' + \cos (x)$ .

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) = - y x' \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 5.3

Somma $y x' \sin (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x) = \cos (x)$

Passaggio 5.4

Sottrai $5 x \cos (3 x + 5 y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Passaggio 5.5

Scomponi $x'$ da $3 x x' \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x)$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $x'$ da $3 x x' \cos (3 x + 5 y)$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + y (x') \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $x'$ da $x' \sin (3 x + 5 y)$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + y (x') \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $x'$ da $y x' \sin (x)$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Passaggio 5.5.4

Scomponi $x'$ da $x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y))$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Passaggio 5.5.5

Scomponi $x'$ da $x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x))$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Passaggio 5.6

Dividi per $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ ciascun termine in $x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.6.1

Dividi per $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ ciascun termine in $x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$ .

$\frac{x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x))}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} + \frac{- 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ .

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Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} + \frac{- 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} - \frac{5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Passaggio 5.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{\cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$