Calcolo Esempi

$x = \sqrt{125 - p^{2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{125 - p^{2}}$ come ${(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $x$ rispetto a $p$ è $x'$ .

$x'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ è $f' (g (p)) g' (p)$ dove $f (p) = p^{\frac{1}{2}}$ e $g (p) = 125 - p^{2}$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $125 - p^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $125 - p^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Passaggio 4.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Passaggio 4.6.2

$\frac{1}{2}$ e ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Passaggio 4.6.3

Sposta ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Passaggio 4.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $125 - p^{2}$ rispetto a $p$ è $\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

Passaggio 4.8

Poiché $125$ è costante rispetto a $p$ , la derivata di $125$ rispetto a $p$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

Passaggio 4.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d p} [- p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [- p^{2}]$

Passaggio 4.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $p$ , la derivata di $- p^{2}$ rispetto a $p$ è $- \frac{d}{d p} [p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d p} [p^{2}])$

Passaggio 4.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ è $n p^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 p))$

Passaggio 4.12

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.12.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 p)$

Passaggio 4.12.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} p$

Passaggio 4.12.3

$\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $p$ .

$\frac{- 2 p}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.12.4

Scomponi $2$ da $- 2 p$ .

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.13.1

Scomponi $2$ da $2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- p)}{2 ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x' = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$