Calcolo Esempi

$x^{3} + y^{3} = 3 x y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$3 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 3.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 x y y') + 3 y^{2}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x y y' + 3 y^{2}$

Passaggio 3.8.3

Riordina i termini.

$3 y^{2} + 6 x y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 y^{2} + 6 x y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $6 x y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2}$

Passaggio 5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi $3 y y'$ da $3 y^{2} y' - 6 x y y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $3 y y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$3 y y' y - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $3 y y'$ da $- 6 x y y'$ .

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $3 y y'$ da $3 y y' y + 3 y y' (- 2 x)$ .

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Passaggio 5.4

Dividi per $3 y (y - 2 x)$ ciascun termine in $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $3 y (y - 2 x)$ ciascun termine in $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ .

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.2.3

Elimina il fattore comune di $y - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y^{2}}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 y (y - 2 x)$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.2

Per scrivere $\frac{y}{y - 2 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(y - 2 x) y$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{y}{y - 2 x}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{(y - 2 x) y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Riordina i fattori di $(y - 2 x) y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y \cdot y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.5.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Passaggio 5.4.3.5.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = x$ .

$y' = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$