Calcolo Esempi

$x = \frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} (\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)})$

Passaggio 2

La derivata di $x$ rispetto a $p$ è $x'$ .

$x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 3.1.1

Poiché $500$ è costante rispetto a $p$ , la derivata di $\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$ rispetto a $p$ è $500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$ .

$500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}$ come $\ln^{- 1} (p^{2} + 1)$ .

$500 \frac{d}{d p} [\ln^{- 1} (p^{2} + 1)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ è $f' (g (p)) g' (p)$ dove $f (p) = p^{- 1}$ e $g (p) = \ln (p^{2} + 1)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (- \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $500$ .

$- 500 (\ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ è $f' (g (p)) g' (p)$ dove $f (p) = \ln (p)$ e $g (p) = p^{2} + 1$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Passaggio 3.5

Differenzia.

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Passaggio 3.5.1

$\frac{1}{p^{2} + 1}$ e $- 500$ .

$\frac{- 500}{p^{2} + 1} \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Passaggio 3.5.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.5.2.1

$\frac{- 500}{p^{2} + 1}$ e $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ .

$\frac{- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1)}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.2.2.1

Sposta $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Passaggio 3.5.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Passaggio 3.5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $p^{2} + 1$ rispetto a $p$ è $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1]$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1])$

Passaggio 3.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ è $n p^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + \frac{d}{d p} [1])$

Passaggio 3.5.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $p$ , la derivata di $1$ rispetto a $p$ è $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + 0)$

Passaggio 3.5.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.5.6.1

Somma $2 p$ e $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p)$

Passaggio 3.5.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Passaggio 3.5.6.3

$- 2$ e $\frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$\frac{- 2 \cdot 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Passaggio 3.5.6.4

Moltiplica $- 2$ per $500$ .

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Passaggio 3.5.6.5

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ e $p$ .

$\frac{- 1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Passaggio 3.5.6.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.6.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Passaggio 3.5.6.6.2

Riordina i fattori in $- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$- \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x' = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Passaggio 5

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$