Calcolo Esempi

$V = p r^{2} (2 p r - 24)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (p r^{2} (2 p r - 24))$

Passaggio 2

La derivata di $V$ rispetto a $r$ è $V'$ .

$V'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $p$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $p r^{2} (2 p r - 24)$ rispetto a $r$ è $p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$ .

$p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ è $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ dove $f (r) = r^{2}$ e $g (r) = 2 p r - 24$ .

$p (r^{2} \frac{d}{d r} [2 p r - 24] + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 p r - 24$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]$ .

$p (r^{2} (\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Passaggio 3.3.2

Poiché $2 p$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $2 p r$ rispetto a $r$ è $2 p \frac{d}{d r} [r]$ .

$p (r^{2} (2 p \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$p (r^{2} (2 p \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$p (r^{2} (2 p + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- 24$ rispetto a $r$ è $0$ .

$p (r^{2} (2 p + 0) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Passaggio 3.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Somma $2 p$ e $0$ .

$p (r^{2} (2 p) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Passaggio 3.3.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $r^{2}$ .

$p (2 \cdot r^{2} p + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$p (2 r^{2} p + (2 p r - 24) (2 r))$

Passaggio 3.3.8

Sposta $2$ alla sinistra di $2 p r - 24$ .

$p (2 r^{2} p + 2 \cdot (2 p r - 24) r)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (2 r^{2} p + (2 (2 p r) + 2 \cdot - 24) r)$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (2 r^{2} p + 2 (2 p r) r + 2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (2 r^{2} p) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Eleva $p$ alla potenza di $1$ .

$p^{1} p (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.2

Eleva $p$ alla potenza di $1$ .

$p^{1} p^{1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p^{1 + 1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$p^{2} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.5

Sposta $2$ alla sinistra di $p^{2}$ .

$2 \cdot p^{2} r^{2} + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 (p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.7

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r)) + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.8

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r^{1})) + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{1 + 1}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.10

Somma $1$ e $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{2}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.11

Eleva $p$ alla potenza di $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.12

Eleva $p$ alla potenza di $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p^{1}) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{1 + 1} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.14

Somma $1$ e $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Passaggio 3.4.4.15

Moltiplica $2$ per $- 24$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Passaggio 3.4.4.16

Somma $2 p^{2} r^{2}$ e $4 p^{2} r^{2}$ .

$6 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Passaggio 3.4.5

Riordina i termini.

$6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$V' = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Passaggio 5

Sostituisci $V'$ con $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$