Calcolo Esempi

$x^{2} + t^{2} x + t^{3} - 5 = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (x^{2} + t^{2} x + t^{3} - 5) = \frac{d}{d t} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + t^{2} x + t^{3} - 5$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [x^{2}] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [x^{2}] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = x$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$2 x \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d t} [x]$ come $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d t} [t^{2} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d t} [t^{2} x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = x$ .

$2 x x' + t^{2} \frac{d}{d t} [x] + x \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d t} [x]$ come $x'$ .

$2 x x' + t^{2} x' + x \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x x' + t^{2} x' + x (2 t) + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.4

Differenzia.

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Passaggio 2.4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.4.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + 3 t^{2} + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Somma $2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + 3 t^{2}$ e $0$ .

$2 x x' + t^{2} x' + 2 x t + 3 t^{2}$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$3 t^{2} + 2 x x' + t^{2} x' + 2 t x$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $0$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 t^{2} + 2 x x' + t^{2} x' + 2 t x = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 t^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x x' + t^{2} x' + 2 t x = - 3 t^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $2 t x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x x' + t^{2} x' = - 3 t^{2} - 2 t x$

Passaggio 5.2

Scomponi $x'$ da $2 x x' + t^{2} x'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x'$ da $2 x x'$ .

$x' (2 x) + t^{2} x' = - 3 t^{2} - 2 t x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x'$ da $t^{2} x'$ .

$x' (2 x) + x' (t^{2}) = - 3 t^{2} - 2 t x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x'$ da $x' (2 x) + x' (t^{2})$ .

$x' (2 x + t^{2}) = - 3 t^{2} - 2 t x$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 x + t^{2}$ ciascun termine in $x' (2 x + t^{2}) = - 3 t^{2} - 2 t x$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 x + t^{2}$ ciascun termine in $x' (2 x + t^{2}) = - 3 t^{2} - 2 t x$ .

$\frac{x' (2 x + t^{2})}{2 x + t^{2}} = \frac{- 3 t^{2}}{2 x + t^{2}} + \frac{- 2 t x}{2 x + t^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 x + t^{2}$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (2 x + t^{2})}{2 x + t^{2}} = \frac{- 3 t^{2}}{2 x + t^{2}} + \frac{- 2 t x}{2 x + t^{2}}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 3 t^{2}}{2 x + t^{2}} + \frac{- 2 t x}{2 x + t^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{- 3 t^{2} - 2 t x}{2 x + t^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $t$ da $- 3 t^{2} - 2 t x$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $t$ da $- 3 t^{2}$ .

$x' = \frac{t (- 3 t) - 2 t x}{2 x + t^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $t$ da $- 2 t x$ .

$x' = \frac{t (- 3 t) + t (- 2 x)}{2 x + t^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $t$ da $t (- 3 t) + t (- 2 x)$ .

$x' = \frac{t (- 3 t - 2 x)}{2 x + t^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 t$ .

$x' = \frac{t (- (3 t) - 2 x)}{2 x + t^{2}}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$x' = \frac{t (- (3 t) - (2 x))}{2 x + t^{2}}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 t) - (2 x)$ .

$x' = \frac{t (- (3 t + 2 x))}{2 x + t^{2}}$

Passaggio 5.3.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.6.1

Riscrivi $- (3 t + 2 x)$ come $- 1 (3 t + 2 x)$ .

$x' = \frac{t (- 1 (3 t + 2 x))}{2 x + t^{2}}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{t (3 t + 2 x)}{2 x + t^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = - \frac{t (3 t + 2 x)}{2 x + t^{2}}$