Calcolo Esempi

${(6 x y + 5)}^{2} = 12 y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} ({(6 x y + 5)}^{2}) = \frac{d}{d y} (12 y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(6 x y + 5)}^{2}$ come $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ .

$\frac{d}{d y} [(6 x y + 5) (6 x y + 5)]$

Passaggio 2.2

Espandi $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y + 5) + 5 (6 x y + 5)]$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y + 5)]$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d y} [6 (x \cdot x) y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} (y \cdot y) \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y^{2} \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $5$ per $6$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $6$ per $5$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 (x y) + 5 \cdot 5]$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 x y + 25]$

Passaggio 2.3.2

Somma $30 x y$ e $30 x y$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25]$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.4.2

Poiché $36$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $36 x^{2} y^{2}$ rispetto a $y$ è $36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x^{2}$ e $g (y) = y^{2}$ .

$36 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$36 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$36 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.8

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 \cdot y^{2} x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.9

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.10

Poiché $60$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $60 x y$ rispetto a $y$ è $60 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.13

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + \frac{d}{d y} [25]$

Passaggio 2.14

Poiché $25$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $25$ rispetto a $y$ è $0$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + 0$

Passaggio 2.15

Somma $36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$ e $0$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

Passaggio 2.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

Passaggio 2.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

Passaggio 2.16.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.3.1

Moltiplica $2$ per $36$ .

$72 (x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

Passaggio 2.16.3.2

Moltiplica $2$ per $36$ .

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 x + 60 y x'$

Passaggio 2.16.4

Riordina i termini.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $12 y$ rispetto a $y$ è $12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$12 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $72 x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12 - 72 x^{2} y$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $60 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$72 y^{2} x x' + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $12 y x'$ da $72 y^{2} x x' + 60 y x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $12 y x'$ da $72 y^{2} x x'$ .

$12 y x' (6 y x) + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $12 y x'$ da $60 y x'$ .

$12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5 = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $12 y x'$ da $12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5$ .

$12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Passaggio 5.3

Dividi per $12 y (6 y x + 5)$ ciascun termine in $12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $12 y (6 y x + 5)$ ciascun termine in $12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ .

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $6 y x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 72$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $12$ da $- 72 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.2.1

Scomponi $12$ da $12 y (6 y x + 5)$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $- 60$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.1

Scomponi $12$ da $- 60 x$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.2.1

Scomponi $12$ da $12 y (6 y x + 5)$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

Passaggio 5.3.3.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

Passaggio 5.3.3.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 5 x}{y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} \cdot \frac{y}{y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (6 y x + 5)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ per $\frac{y}{y}$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{(6 y x + 5) y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(6 y x + 5) y$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Passaggio 5.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$