Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 64}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 64$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 64) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 64$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 64$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (64))}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + \frac{d}{d x} (64))}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 64) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{({(x^{2} + 64)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 64)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 64) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 64) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 64$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2.6

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2.7

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 64$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 64$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) (2 (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 64$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (64)))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (2 x + \frac{d}{d x} (64)))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.4

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (2 x))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 64$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) (2 \cdot ((x^{2} + 64) x))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) ((x^{2} + 64) x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 64)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.2

Riscrivi ${(x^{2} + 64)}^{2}$ come $(x^{2} + 64) (x^{2} + 64)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 64) (x^{2} + 64)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.3

Espandi $(x^{2} + 64) (x^{2} + 64)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 64) + 64 (x^{2} + 64)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 64 + 64 (x^{2} + 64)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 64 + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 64 + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 64 + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Sposta $64$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 64 \cdot x^{2} + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $64$ per $64$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 64 x^{2} + 64 x^{2} + 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.2

Somma $64 x^{2}$ e $64 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 128 x^{2} + 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (128 x^{2}) - 2 \cdot 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.6.1

Moltiplica $128$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 256 x^{2} - 2 \cdot 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 2$ per $4096$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 256 x^{2} - 8192) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 (x \cdot x^{2}) - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 (x \cdot x^{2}) - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{1 + 2} - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 4$ per $64$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.10

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{2 + 1} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{3} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.11

Espandi $(4 x^{2} - 256) (x^{3} + 64 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{2} (x^{3} + 64 x) - 256 (x^{3} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (64 x) - 256 (x^{3} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 x^{2} x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 (x \cdot x^{2})) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 (x \cdot x^{2})) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 x^{1 + 2}) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 x^{3}) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Moltiplica $4$ per $64$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 256 x^{3} - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Moltiplica $64$ per $- 256$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 256 x^{3} - 256 x^{3} - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.2

Sottrai $256 x^{3}$ da $256 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 0 - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.3

Somma $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.2

Somma $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.3

Sottrai $16384 x$ da $- 8192 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 256 x^{3} - 24576 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.4.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5} - 256 x^{3} - 24576 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.4.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 256 x^{3} - 24576 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 256 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 128 x^{2}) - 24576 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.1.3

Scomponi $2 x$ da $- 24576 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 128 x^{2}) + 2 x (- 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.1.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4}) + 2 x (- 128 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 128 x^{2}) + 2 x (- 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.1.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4} - 128 x^{2}) + 2 x (- 12288)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 128 x^{2} - 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 128 x^{2} - 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 128 u - 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.4

Scomponi $u^{2} - 128 u - 12288$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12288$ e la cui somma è $- 128$ .

$- 192, 64$

Passaggio 1.1.2.5.4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 192) (u + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 192) (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 64$ e ${(x^{2} + 64)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.5.1

Scomponi $x^{2} + 64$ da $2 x (x^{2} - 192) (x^{2} + 64)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 64) (2 x (x^{2} - 192))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 64$ da ${(x^{2} + 64)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 64) (2 x (x^{2} - 192))}{(x^{2} + 64) {(x^{2} + 64)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 64) (2 x (x^{2} - 192))}{(x^{2} + 64) {(x^{2} + 64)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x (x^{2} - 192) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 192 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.3.3

Imposta $x^{2} - 192$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Imposta $x^{2} - 192$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 192 = 0$

Passaggio 1.2.3.3.2

Risolvi $x^{2} - 192 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.1

Somma $192$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 192$

Passaggio 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{192}$

Passaggio 1.2.3.3.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{192}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.3.1

Riscrivi $192$ come $8^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.3.1.1

Scomponi $64$ da $192$ .

$x = \pm \sqrt{64 (3)}$

Passaggio 1.2.3.3.2.3.1.2

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.3.2.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 8 \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.3.3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 8 \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.3.3.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 8 \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.3.3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 8 \sqrt{3}, - 8 \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x^{2} - 192) = 0$ vera.

$x = 0, 8 \sqrt{3}, - 8 \sqrt{3}$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 64}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{x}{x^{2} + 64}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 64 = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 64$

Passaggio 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 64}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 64}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $- 64$ come $- 1 (64)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (64)}$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (64)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$

Passaggio 2.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{64}$

Passaggio 2.2.3.4

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 2.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 8$

Passaggio 2.2.3.6

Sposta $8$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 8 i$

Passaggio 2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 8 i$

Passaggio 2.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 8 i$

Passaggio 2.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 8 i, - 8 i$

Passaggio 2.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 8 \sqrt{3}) \cup (- 8 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 8 \sqrt{3}) \cup (8 \sqrt{3}, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 16$ nell'espressione.

$f'' (- 16) = \frac{2 (- 16) ({(- 16)}^{2} - 192)}{{({(- 16)}^{2} + 64)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{{({(- 16)}^{2} + 64)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{{(256 + 64)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $256$ e $64$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{320^{3}}$

Passaggio 4.2.2.3

Eleva $320$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{32768000}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 (256 - 192)}{32768000}$

Passaggio 4.2.3.2

Sottrai $192$ da $256$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 \cdot 64}{32768000}$

Passaggio 4.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $- 32$ per $64$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 2048}{32768000}$

Passaggio 4.2.4.2

Elimina il fattore comune di $- 2048$ e $32768000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Scomponi $2048$ da $- 2048$ .

$f'' (- 16) = \frac{2048 (- 1)}{32768000}$

Passaggio 4.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.2.1

Scomponi $2048$ da $32768000$ .

$f'' (- 16) = \frac{2048 \cdot - 1}{2048 \cdot 16000}$

Passaggio 4.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 16) = \frac{2048 \cdot - 1}{2048 \cdot 16000}$

Passaggio 4.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 16) = \frac{- 1}{16000}$

Passaggio 4.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 16) = - \frac{1}{16000}$

Passaggio 4.2.5

La risposta finale è $- \frac{1}{16000}$ .

$- \frac{1}{16000}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ perché $f'' (- 16)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 192)}{{({(- 2)}^{2} + 64)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{{({(- 2)}^{2} + 64)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{{(4 + 64)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $4$ e $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{68^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $68$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{314432}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 (4 - 192)}{314432}$

Passaggio 5.2.3.2

Sottrai $192$ da $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot - 188}{314432}$

Passaggio 5.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $- 4$ per $- 188$ .

$f'' (- 2) = \frac{752}{314432}$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune di $752$ e $314432$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Scomponi $16$ da $752$ .

$f'' (- 2) = \frac{16 (47)}{314432}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.2.1

Scomponi $16$ da $314432$ .

$f'' (- 2) = \frac{16 \cdot 47}{16 \cdot 19652}$

Passaggio 5.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 2) = \frac{16 \cdot 47}{16 \cdot 19652}$

Passaggio 5.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{47}{19652}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $\frac{47}{19652}$ .

$\frac{47}{19652}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ perché $f'' (- 2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, 8 \sqrt{3})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = \frac{2 (2) ({(2)}^{2} - 192)}{{({(2)}^{2} + 64)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{{(2^{2} + 64)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{{(4 + 64)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $4$ e $64$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{68^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $68$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{314432}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (4 - 192)}{314432}$

Passaggio 6.2.3.2

Sottrai $192$ da $4$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot - 188}{314432}$

Passaggio 6.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $4$ per $- 188$ .

$f'' (2) = \frac{- 752}{314432}$

Passaggio 6.2.4.2

Elimina il fattore comune di $- 752$ e $314432$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Scomponi $16$ da $- 752$ .

$f'' (2) = \frac{16 (- 47)}{314432}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.2.1

Scomponi $16$ da $314432$ .

$f'' (2) = \frac{16 \cdot - 47}{16 \cdot 19652}$

Passaggio 6.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (2) = \frac{16 \cdot - 47}{16 \cdot 19652}$

Passaggio 6.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (2) = \frac{- 47}{19652}$

Passaggio 6.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (2) = - \frac{47}{19652}$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $- \frac{47}{19652}$ .

$- \frac{47}{19652}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(0, 8 \sqrt{3})$ perché $f'' (2)$ è negativo.

Funzione concava su $(0, 8 \sqrt{3})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(8 \sqrt{3}, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $16$ nell'espressione.

$f'' (16) = \frac{2 (16) ({(16)}^{2} - 192)}{{({(16)}^{2} + 64)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $16$ .

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{{(16^{2} + 64)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{{(256 + 64)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $256$ e $64$ .

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{320^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $320$ alla potenza di $3$ .

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{32768000}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$f'' (16) = \frac{32 (256 - 192)}{32768000}$

Passaggio 7.2.3.2

Sottrai $192$ da $256$ .

$f'' (16) = \frac{32 \cdot 64}{32768000}$

Passaggio 7.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $32$ per $64$ .

$f'' (16) = \frac{2048}{32768000}$

Passaggio 7.2.4.2

Elimina il fattore comune di $2048$ e $32768000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.1

Scomponi $2048$ da $2048$ .

$f'' (16) = \frac{2048 (1)}{32768000}$

Passaggio 7.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.2.2.1

Scomponi $2048$ da $32768000$ .

$f'' (16) = \frac{2048 \cdot 1}{2048 \cdot 16000}$

Passaggio 7.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (16) = \frac{2048 \cdot 1}{2048 \cdot 16000}$

Passaggio 7.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (16) = \frac{1}{16000}$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è $\frac{1}{16000}$ .

$\frac{1}{16000}$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(8 \sqrt{3}, \infty)$ perché $f'' (16)$ è positivo.

Funzione convessa su $(8 \sqrt{3}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(0, 8 \sqrt{3})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(8 \sqrt{3}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 9