Calcolo Esempi

$x^{2} y + y x^{2} = 6$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y x^{2}) = \frac{d}{d y} (6)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y + y x^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x^{2}$ e $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = x^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 \cdot y x x' + x^{2} \cdot 1$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 y x x' + x^{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Somma $2 y x x'$ e $2 y x x'$ .

$x^{2} + 4 y x x' + x^{2}$

Passaggio 2.4.1.2

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 y x x'$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$2 x^{2} + 4 x y x'$

Passaggio 3

Poiché $6$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $6$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x^{2} + 4 x y x' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $2 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x y x' = - 2 x^{2}$

Passaggio 5.2

Dividi per $4 x y$ ciascun termine in $4 x y x' = - 2 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $4 x y$ ciascun termine in $4 x y x' = - 2 x^{2}$ .

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Passaggio 5.2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Passaggio 5.2.2.3.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{4 x y}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4 x y$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- x)}{2 x y}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.2.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Passaggio 5.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Passaggio 5.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{- x}{2 y}$

Passaggio 5.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{x}{2 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{2 y}$