Calcolo Esempi

$x^{3} - y^{3} = 2 x y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d y} (2 x y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{3}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} x' - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} x' - (3 y^{2})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 x^{2} x' - 3 y^{2}$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [x y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$2 (x + y x')$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 2 (y x')$

Passaggio 3.5.2

Riordina i termini.

$2 y x' + 2 x$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' = 2 y x' + 2 x$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $2 y x'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x$

Passaggio 5.2

Somma $3 y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi $x'$ da $3 x^{2} x' - 2 y x'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $x'$ da $3 x^{2} x'$ .

$x' (3 x^{2}) - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x'$ da $- 2 y x'$ .

$x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x'$ da $x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y)$ .

$x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

Passaggio 5.4

Dividi per $3 x^{2} - 2 y$ ciascun termine in $x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $3 x^{2} - 2 y$ ciascun termine in $x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ .

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 x^{2} - 2 y$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$