Calcolo Esempi

${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3} = x^{5} + y^{5}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}) = \frac{d}{d y} (x^{5} + y^{5})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x - y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - y$ .

$3 {(x - y)}^{2} \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$3 {(x - y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' + \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + y$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + y$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (x' + 1)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x - y)}^{2} \cdot - 1 + 3 {(x + y)}^{2} (x' + 1)$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x - y)}^{2} \cdot - 1 + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 {(x - y)}^{2} x' - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} \cdot 1$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 {(x - y)}^{2} x' - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$3 {(x + y)}^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Riscrivi ${(x + y)}^{2}$ come $(x + y) (x + y)$ .

$3 ((x + y) (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.2

Espandi $(x + y) (x + y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x (x + y) + y (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.3.2

Somma $x y$ e $y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.3.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.3.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.6

Riscrivi ${(x - y)}^{2}$ come $(x - y) (x - y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 ((x - y) (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.7

Espandi $(x - y) (x - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x (x - y) - y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.8.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.8.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.8.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.8.1.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.8.1.4.1

Sposta $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.8.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.8.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.8.1.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.8.2

Sottrai $y x$ da $- x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.8.2.1

Sposta $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.8.2.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.9

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x y) - 3 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.10

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 (x y) - 3 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.11

Riscrivi ${(x - y)}^{2}$ come $(x - y) (x - y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 ((x - y) (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.12

Espandi $(x - y) (x - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x (x - y) - y (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.13

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.13.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.13.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.13.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.13.1.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.13.1.4.1

Sposta $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.13.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.13.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.13.1.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.13.2

Sottrai $y x$ da $- x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.13.2.1

Sposta $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.13.2.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.14

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + (3 x^{2} + 3 (- 2 x y) + 3 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.15

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + (3 x^{2} - 6 (x y) + 3 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.16

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Passaggio 2.4.5.17

Riscrivi ${(x + y)}^{2}$ come $(x + y) (x + y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 ((x + y) (x + y)) x'$

Passaggio 2.4.5.18

Espandi $(x + y) (x + y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x (x + y) + y (x + y)) x'$

Passaggio 2.4.5.18.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) x'$

Passaggio 2.4.5.18.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) x'$

Passaggio 2.4.5.19

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.19.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.19.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) x'$

Passaggio 2.4.5.19.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) x'$

Passaggio 2.4.5.19.2

Somma $x y$ e $y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.19.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) x'$

Passaggio 2.4.5.19.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) x'$

Passaggio 2.4.5.20

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + (3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2}) x'$

Passaggio 2.4.5.21

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + (3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2}) x'$

Passaggio 2.4.5.22

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Passaggio 2.4.6

Combina i termini opposti in $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Sottrai $3 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$6 x y + 3 y^{2} + 0 + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Passaggio 2.4.6.2

Somma $6 x y + 3 y^{2}$ e $0$ .

$6 x y + 3 y^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Passaggio 2.4.6.3

Sottrai $3 y^{2}$ da $3 y^{2}$ .

$6 x y + 6 x y + 0 + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Passaggio 2.4.6.4

Somma $6 x y + 6 x y$ e $0$ .

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Passaggio 2.4.6.5

Somma $- 6 x y x'$ e $6 x y x'$ .

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 0 + 3 y^{2} x'$

Passaggio 2.4.6.6

Somma $6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x'$ e $0$ .

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x'$

Passaggio 2.4.7

Somma $6 x y$ e $6 x y$ .

$12 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x'$

Passaggio 2.4.8

Somma $3 x^{2} x'$ e $3 x^{2} x'$ .

$12 x y + 6 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 y^{2} x'$

Passaggio 2.4.9

Somma $3 y^{2} x'$ e $3 y^{2} x'$ .

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} + y^{5}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{5}$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} x' + 5 y^{4}$

Passaggio 3.3.2

Riordina i termini.

$5 y^{4} + 5 x^{4} x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' = 5 y^{4} + 5 x^{4} x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $5 x^{4} x'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4}$

Passaggio 5.2

Sottrai $12 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

Passaggio 5.3

Scomponi $x'$ da $6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $x'$ da $6 x^{2} x'$ .

$x' (6 x^{2}) + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x'$ da $6 y^{2} x'$ .

$x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2}) - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x'$ da $- 5 x^{4} x'$ .

$x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $x'$ da $x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2})$ .

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

Passaggio 5.3.5

Scomponi $x'$ da $x' (6 x^{2} + 6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4})$ .

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

Passaggio 5.4

Dividi per $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ ciascun termine in $x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ ciascun termine in $x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$ .

$\frac{x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4})}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4})}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{5 y^{4} - 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $y$ da $5 y^{4} - 12 x y$ .

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Passaggio 5.4.3.2.1

Scomponi $y$ da $5 y^{4}$ .

$x' = \frac{y (5 y^{3}) - 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Scomponi $y$ da $- 12 x y$ .

$x' = \frac{y (5 y^{3}) + y (- 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Passaggio 5.4.3.2.3

Scomponi $y$ da $y (5 y^{3}) + y (- 12 x)$ .

$x' = \frac{y (5 y^{3} - 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (5 y^{3} - 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$