Calcolo Esempi

$f = 12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (f) = \frac{d}{d x} (12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}})$

Passaggio 2

La derivata di $f$ rispetto a $x$ è $f'$ .

$f'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $4 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y e^{\frac{2 x}{7 y}}$ rispetto a $x$ è $4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$12 + 4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{2 x}{7 y}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$12 + 4 y (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $\frac{2}{7 y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{7 y}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $\frac{2}{7 y}$ per $1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{2}{7 y})$

Passaggio 3.3.6

$e^{\frac{2 x}{7 y}}$ e $\frac{2}{7 y}$ .

$12 + 4 y \frac{e^{\frac{2 x}{7 y}} \cdot 2}{7 y}$

Passaggio 3.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ .

$12 + 4 y \frac{2 \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Passaggio 3.3.8

$4$ e $\frac{2 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + y \frac{4 (2 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $2$ per $4$ .

$12 + y \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Passaggio 3.3.10

$y$ e $\frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Passaggio 3.3.11

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 3.3.11.1

Elimina il fattore comune.

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Passaggio 3.3.11.2

Riscrivi l'espressione.

$12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$f' = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Passaggio 5

Sostituisci $f'$ con $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x} = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$