Calcolo Esempi

$p = \frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (p) = \frac{d}{d t} (\frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}})$

Passaggio 2

La derivata di $p$ rispetto a $t$ è $p'$ .

$p'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 3.1.1

Poiché $500$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$ rispetto a $t$ è $500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}]$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$ come ${(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 1}$ .

$500 \frac{d}{d t} [{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 1}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

$500 (- {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $500$ .

$- 500 ({(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [12] + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [12] + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $12$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $12$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}])$

Passaggio 3.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$

Passaggio 3.3.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 e^{- 0.5 t}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (5 \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}])$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $5$ per $- 500$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 0.5 t$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 0.5 t$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 0.5 t$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Passaggio 3.5

Differenzia.

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Passaggio 3.5.1

Poiché $- 0.5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 0.5 t$ rispetto a $t$ è $- 0.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} (- 0.5 \frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $- 0.5$ per $- 2500$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} \cdot 1)$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $e^{- 0.5 t}$ per $1$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} e^{- 0.5 t}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Riordina i fattori di $1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} e^{- 0.5 t}$ .

$1250 e^{- 0.5 t} {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1250 e^{- 0.5 t} \frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $1250 e^{- 0.5 t} \frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ .

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Passaggio 3.6.3.1

$\frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ e $1250$ .

$\frac{1250}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}} e^{- 0.5 t}$

Passaggio 3.6.3.2

$\frac{1250}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ e $e^{- 0.5 t}$ .

$\frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$p' = \frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $p'$ con $\frac{d p}{d t}$ .

$\frac{d p}{d t} = \frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$