Calcolo Esempi

$f = e^{x} \sin (y + z) - z$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (f) = \frac{d}{d y} (e^{x} \sin (y + z) - z)$

Passaggio 2

La derivata di $f$ rispetto a $y$ è $f'$ .

$f'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} \sin (y + z) - z$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $e^{x} \sin (y + z)$ rispetto a $y$ è $e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = y + z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y + z$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

Passaggio 3.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + z$ .

$e^{x} (\cos (y + z) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

Passaggio 3.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + z$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

Passaggio 3.2.5

Poiché $z$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $z$ rispetto a $y$ è $0$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + 0)) + \frac{d}{d y} [- z]$

Passaggio 3.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$e^{x} (\cos (y + z) \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- z]$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $\cos (y + z)$ per $1$ .

$e^{x} \cos (y + z) + \frac{d}{d y} [- z]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- z$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- z$ rispetto a $y$ è $0$ .

$e^{x} \cos (y + z) + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $e^{x} \cos (y + z)$ e $0$ .

$e^{x} \cos (y + z)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$f' = e^{x} \cos (y + z)$

Passaggio 5

Sostituisci $f'$ con $\frac{d f}{d y}$ .

$\frac{d f}{d y} = e^{x} \cos (y + z)$