Calcolo Esempi

${(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ e $g (t) = 4 t^{2} - 6 t + 10$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 t^{2} - 6 t + 10$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 6 t + 10]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 6 t + 10]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 t^{2} - 6 t + 10$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 6 t + 10]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 t^{2} - 6 t + 10$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10]$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t^{2}$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 6 t$ rispetto a $t$ è $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10])$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 + \frac{d}{d t} [10])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $10$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 + 0)$

Passaggio 5.2

Somma $8 t - 6$ e $0$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.1.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (8 t - 6)$

Passaggio 6.1.2

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (8 t - 6)$

Passaggio 6.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} (8 t - 6)$

Passaggio 6.1.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3 - 2}{2}} (8 t - 6)$

Passaggio 6.1.4.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}} (8 t - 6)$

Passaggio 6.1.5

$\frac{3}{2}$ e ${(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 6)$

Passaggio 6.2

Riordina i fattori di $\frac{3 {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 6)$ .

$(8 t - 6) \frac{3 {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}{2}$