Calcolo Esempi

${(\frac{b}{a + z^{2}})}^{9}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ è $f' (g (a)) g' (a)$ dove $f (a) = a^{9}$ e $g (a) = \frac{b}{a + z^{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{b}{a + z^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{b}{a + z^{2}}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1

Poiché $b$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $\frac{b}{a + z^{2}}$ rispetto a $a$ è $b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}]$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}])$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{a + z^{2}}$ come ${(a + z^{2})}^{- 1}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [{(a + z^{2})}^{- 1}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ è $f' (g (a)) g' (a)$ dove $f (a) = a^{- 1}$ e $g (a) = a + z^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $a + z^{2}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $a + z^{2}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a + z^{2}$ rispetto a $a$ è $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}]$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

Passaggio 4.3

Poiché $z^{2}$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $z^{2}$ rispetto a $a$ è $0$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + 0)))$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \cdot 1))$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2}))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- \frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}))$

Passaggio 5.2

$b$ e $\frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{b}{a + z^{2}}$ .

$9 \frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.2.1

$9$ e $\frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ .

$\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ per $\frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{9 b^{8} b}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.3

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{9 (b^{1} b^{8})}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{9 b^{1 + 8}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.5

Somma $1$ e $8$ .

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica ${(a + z^{2})}^{8}$ per ${(a + z^{2})}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.6.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8 + 2}}$

Passaggio 6.2.6.2

Somma $8$ e $2$ .

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{10}}$