Calcolo Esempi

$f (x) = {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ e $g (x) = {(2 x - 1)}^{4}$ .

${(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}] + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x - 1$ .

${(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

${(2 x + 1)}^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x - 1$ .

${(2 x + 1)}^{3} (4 {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Sposta $4$ alla sinistra di ${(2 x + 1)}^{3}$ .

$4 \cdot {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 + 0) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} \cdot 2 + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x + 1$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x + 1$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(2 x - 1)}^{4}$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 5.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 5.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 5.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)$

Passaggio 5.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Scomponi $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ da $8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ da $8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}$ .

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ da $6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$ .

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (3 (2 x - 1))$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ da $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (3 (2 x - 1))$ .

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$

Passaggio 6.2

Riordina i fattori di $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$ .

$2 {(2 x - 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$