Calcolo Esempi

$N (t) = - \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}} + c$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}} + c$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $- 20000$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $t$ è $- 20000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 20000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- 20000 \frac{d}{d t} [{({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 20000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 1 + 0.2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 + 0.2 t$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + 0.2 t$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 0.2 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [0.2 t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.7

Poiché $0.2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $0.2 t$ rispetto a $t$ è $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.9

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.9.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.9.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.10

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.11

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.13

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.13.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.13.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.15

Moltiplica $0.2$ per $1$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0.2))) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.16

Somma $0$ e $0.2$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 0.2)) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.17

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 0.2)) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.18

$\frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $0.2$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 0.2}{2}) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.19

Sposta $0.2$ alla sinistra di ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{0.2 \cdot {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.20

Sposta ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.21

$\frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${(1 + 0.2 t)}^{- 1}$ .

$- 20000 (- \frac{0.2 {(1 + 0.2 t)}^{- 1}}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.22

Sposta ${(1 + 0.2 t)}^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0.2 t)}) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.23

Moltiplica ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ per $1 + 0.2 t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.23.1

Sposta $1 + 0.2 t$ .

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 ((1 + 0.2 t) {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.23.2

Moltiplica $1 + 0.2 t$ per ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.23.2.1

Eleva $1 + 0.2 t$ alla potenza di $1$ .

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 ({(1 + 0.2 t)}^{1} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.23.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{1 + \frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.23.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.23.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{2 + 1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.23.5

Somma $2$ e $1$ .

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.24

Moltiplica $- 1$ per $- 20000$ .

$20000 \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.25

$20000$ e $\frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{20000 \cdot 0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.26

Moltiplica $20000$ per $0.2$ .

$\frac{4000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.27

Scomponi $2$ da $4000$ .

$\frac{2 \cdot 2000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.28

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.28.1

Scomponi $2$ da $2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2000}{2 ({(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.28.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 2.28.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

Passaggio 3

Poiché $c$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $c$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma $\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$\frac{2000}{{(0.2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$