Calcolo Esempi

$f (x) = {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{6}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ è $f' (g (v)) g' (v)$ dove $f (v) = v^{6}$ e $g (v) = \frac{v}{v^{3} + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ è $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ dove $f (v) = v$ e $g (v) = v^{3} + 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \frac{d}{d v} [v] - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \cdot 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $v^{3} + 1$ per $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $v^{3} + 1$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $1$ rispetto a $v$ è $0$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + 0)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $3 v^{2}$ e $0$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v \cdot v^{2}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Moltiplica $v$ per $v^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $v^{2}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $v^{2}$ per $v$ .

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Passaggio 4.2.1

Eleva $v$ alla potenza di $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v^{1})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{2 + 1}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Somma $2$ e $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{3}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Sottrai $3 v^{3}$ da $v^{3}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$6 \frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.2.1

$6$ e $\frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ .

$\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \cdot \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ per $\frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5} {(v^{3} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica ${(v^{3} + 1)}^{5}$ per ${(v^{3} + 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5 + 2}}$

Passaggio 6.2.3.2

Somma $5$ e $2$ .

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{7}}$