Calcolo Esempi

$\sqrt{\sin (x + 1)}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\sin (x + 1)}$ come ${\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \sin (x + 1)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (x + 1)$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e ${\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Passaggio 7.3

Sposta ${\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 1$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 8.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 9

Differenzia.

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Passaggio 9.1

$\cos (x + 1)$ e $\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 9.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 9.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 9.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Passaggio 9.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 9.5.2

Moltiplica $\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Frazioni separate.

$\frac{\cos (x + 1)}{2} \cdot \frac{1}{{\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10.2

Converti da $\frac{1}{{\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ a ${\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2} {\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 10.3

$\frac{\cos (x + 1)}{2}$ e ${\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x + 1) {\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 10.4

Riordina i fattori in $\frac{\cos (x + 1) {\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cos (x + 1)}{2}$