Calcolo Esempi

$\frac{2 x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 6 x + 8}$

Passaggio 1

Dividi $2 x^{4} - 3 x^{2} + 2$ per $x^{2} - 6 x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{4} - 12 x^{3} + 16 x^{2}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

Passaggio 1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x^{3} - 72 x^{2} + 96 x$

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

Passaggio 1.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

Passaggio 1.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $53 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

Passaggio 1.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

Passaggio 1.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $53 x^{2} - 318 x + 424$

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

Passaggio 1.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

$222 x$

$422$

Passaggio 1.16

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 2 x^{2} + 12 x + 53 + \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Passaggio 5

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 \int x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Passaggio 9

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Scomponi $2$ da $222 x - 422$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1.1

Scomponi $2$ da $222 x$ .

$\frac{2 (111 x) - 422}{x^{2} - 6 x + 8}$

Passaggio 9.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 422$ .

$\frac{2 (111 x) + 2 (- 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

Passaggio 9.1.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 (111 x) + 2 (- 211)$ .

$\frac{2 (111 x - 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

Passaggio 9.1.1.2

Scomponi $x^{2} - 6 x + 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $8$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 4, - 2$

Passaggio 9.1.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{2 (111 x - 211)}{(x - 4) (x - 2)}$

Passaggio 9.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Passaggio 9.1.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 4) (x - 2)$ .

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.6

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.6.2

Dividi $2 (111 x - 211)$ per $1$ .

$2 (111 x - 211) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$2 (111 x) + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.1

Moltiplica $111$ per $2$ .

$222 x + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.8.2

Moltiplica $2$ per $- 211$ .

$222 x - 422 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.1.1

Elimina il fattore comune.

$222 x - 422 = \frac{A (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.9.1.2

Dividi $(A) (x - 2)$ per $1$ .

$222 x - 422 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$222 x - 422 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.9.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $A$ .

$222 x - 422 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.9.4

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$222 x - 422 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 9.1.9.4.2

Dividi $(B) (x - 4)$ per $1$ .

$222 x - 422 = A x - 2 A + (B) (x - 4)$

Passaggio 9.1.9.5

Applica la proprietà distributiva.

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 4$

Passaggio 9.1.9.6

Sposta $- 4$ alla sinistra di $B$ .

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x - 4 B$

Passaggio 9.1.10

Sposta $- 2 A$ .

$222 x - 422 = A x + B x - 2 A - 4 B$

Passaggio 9.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$222 = A + B$

Passaggio 9.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Passaggio 9.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Passaggio 9.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Risolvi per $A$ in $222 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 222$ .

$A + B = 222$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Passaggio 9.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $222 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 422 = - 2 A - 4 B$ con $222 - B$ .

$- 422 = - 2 (222 - B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Passaggio 9.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Semplifica $- 2 (222 - B) - 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 422 = - 2 \cdot 222 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Passaggio 9.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $222$ .

$- 422 = - 444 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Passaggio 9.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

Passaggio 9.3.2.2.1.2

Sottrai $4 B$ da $2 B$ .

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

Passaggio 9.3.3

Risolvi per $B$ in $- 422 = - 444 - 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 444 - 2 B = - 422$ .

$- 444 - 2 B = - 422$

$A = 222 - B$

Passaggio 9.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.2.1

Somma $444$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 B = - 422 + 444$

$A = 222 - B$

Passaggio 9.3.3.2.2

Somma $- 422$ e $444$ .

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

Passaggio 9.3.3.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 B = 22$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 B = 22$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Passaggio 9.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Passaggio 9.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Passaggio 9.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.3.3.1

Dividi $22$ per $- 2$ .

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

Passaggio 9.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 11$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 222 - B$ con $- 11$ .

$A = 222 - (- 11)$

$B = - 11$

Passaggio 9.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.2.1

Semplifica $222 - (- 11)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 11$ .

$A = 222 + 11$

$B = - 11$

Passaggio 9.3.4.2.1.2

Somma $222$ e $11$ .

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

Passaggio 9.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 233, B = - 11$

Passaggio 9.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{233}{x - 4} + \frac{- 11}{x - 2}$

Passaggio 9.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} - \frac{11}{x - 2} d x$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Passaggio 11

Poiché $233$ è costante rispetto a $x$ , sposta $233$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Passaggio 12

Sia $u_{1} = x - 4$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sia $u_{1} = x - 4$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Differenzia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 12.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 12.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 12.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 12.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Passaggio 13

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Passaggio 14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{11}{x - 2} d x$

Passaggio 15

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , sposta $11$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - (11 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Passaggio 16

Moltiplica $11$ per $- 1$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Passaggio 17

Sia $u_{2} = x - 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sia $u_{2} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 17.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 17.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 17.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 17.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 17.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 18

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 19

Semplifica.

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| u_{1} |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 20

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 4$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 20.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$

Passaggio 21

Riordina i termini.

$\frac{2}{3} x^{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$