Calcolo Esempi

$\frac{2 v^{2} + 6 v + 5}{(v + 2) {(v + 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{v + 2}$

Passaggio 1.1.2

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{C}{v + 1}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(v + 2) {(v + 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{(v + 2) {(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $v + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di ${(v + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.6.2

Dividi $2 v^{2} + 6 v + 5$ per $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $v + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = \frac{A (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $(A) {(v + 1)}^{2}$ per $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = (A) {(v + 1)}^{2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.2

Riscrivi ${(v + 1)}^{2}$ come $(v + 1) (v + 1)$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A ((v + 1) (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.3

Espandi $(v + 1) (v + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v (v + 1) + 1 (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v \cdot v + v \cdot 1 + 1 (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v \cdot v + v \cdot 1 + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1.1

Moltiplica $v$ per $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v \cdot 1 + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.4.1.2

Moltiplica $v$ per $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.4.1.3

Moltiplica $v$ per $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.4.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + v + 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.4.2

Somma $v$ e $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + 2 v + 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + A (2 v) + A \cdot 1 + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.6.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A \cdot 1 + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.6.2

Moltiplica $A$ per $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.7

Elimina il fattore comune di ${(v + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.7.1

Elimina il fattore comune.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.7.2

Dividi $(B) (v + 2)$ per $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + (B) (v + 2) + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.8

Applica la proprietà distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + B \cdot 2 + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.9

Sposta $2$ alla sinistra di $B$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 \cdot B + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.10

Elimina il fattore comune di ${(v + 1)}^{2}$ e $v + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.10.1

Scomponi $v + 1$ da $(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{v + 1}$

Passaggio 1.1.7.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.10.2.1

Moltiplica per $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{(v + 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.7.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{(v + 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.7.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(C) (v + 2) (v + 1)}{1}$

Passaggio 1.1.7.10.2.4

Dividi $(C) (v + 2) (v + 1)$ per $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C) (v + 2) (v + 1)$

Passaggio 1.1.7.11

Applica la proprietà distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C v + C \cdot 2) (v + 1)$

Passaggio 1.1.7.12

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C v + 2 \cdot C) (v + 1)$

Passaggio 1.1.7.13

Espandi $(C v + 2 C) (v + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v (v + 1) + 2 C (v + 1)$

Passaggio 1.1.7.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v \cdot v + C v \cdot 1 + 2 C (v + 1)$

Passaggio 1.1.7.13.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v \cdot v + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Passaggio 1.1.7.14

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.14.1.1

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.14.1.1.1

Sposta $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C (v \cdot v) + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Passaggio 1.1.7.14.1.1.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Passaggio 1.1.7.14.1.2

Moltiplica $C$ per $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Passaggio 1.1.7.14.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v + 2 C v + 2 C$

Passaggio 1.1.7.14.2

Somma $C v$ e $2 C v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

Passaggio 1.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta $A$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

Passaggio 1.1.8.2

Riordina $B$ e $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta $2 B$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + C v^{2} + 3 C v + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.1.8.4

Sposta $A$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + B v + C v^{2} + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.1.8.5

Sposta $B v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + C v^{2} + B v + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.1.8.6

Sposta $2 v A$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + C v^{2} + 2 v A + B v + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$6 = 2 A + B + 3 C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $v$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$2 = A + C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$2 = A + C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $2 = A + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + C = 2$ .

$A + C = 2$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.3.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 2 - C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$A = 2 - C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $2 - C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $6 = 2 A + B + 3 C$ con $2 - C$ .

$6 = 2 (2 - C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $2 (2 - C) + B + 3 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 = 2 \cdot 2 + 2 (- C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 = 4 + 2 (- C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 = 4 - 2 C + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 - 2 C + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Somma $- 2 C$ e $3 C$ .

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $5 = A + 2 B + 2 C$ con $2 - C$ .

$5 = (2 - C) + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

Passaggio 1.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1

Somma $- C$ e $2 C$ .

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

Passaggio 1.3.3

Riordina $2$ e $- C$ .

$A = - C + 2$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

Passaggio 1.3.4

Risolvi per $C$ in $5 = 2 + 2 B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $2 + 2 B + C = 5$ .

$2 + 2 B + C = 5$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Passaggio 1.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 B + C = 5 - 2$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Passaggio 1.3.4.2.2

Sottrai $2 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 5 - 2 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Passaggio 1.3.4.2.3

Sottrai $2$ da $5$ .

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Passaggio 1.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $3 - 2 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $A = - C + 2$ con $3 - 2 B$ .

$A = - (3 - 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Passaggio 1.3.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Semplifica $- (3 - 2 B) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$A = - 1 \cdot 3 - (- 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Passaggio 1.3.5.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$A = - 3 - (- 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Passaggio 1.3.5.2.1.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$A = - 3 + 2 B + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = - 3 + 2 B + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Passaggio 1.3.5.2.1.2

Somma $- 3$ e $2$ .

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Passaggio 1.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $6 = 4 + B + C$ con $3 - 2 B$ .

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.5.4

Semplifica $6 = 4 + B + 3 - 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.1.1

Rimuovi le parentesi.

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.2.1

Semplifica $4 + B + 3 - 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.4.2.1.1

Somma $4$ e $3$ .

$6 = B + 7 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.5.4.2.1.2

Sottrai $2 B$ da $B$ .

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.6

Risolvi per $B$ in $6 = - B + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Riscrivi l'equazione come $- B + 7 = 6$ .

$- B + 7 = 6$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- B = 6 - 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.6.2.2

Sottrai $7$ da $6$ .

$- B = - 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$- B = - 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.6.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = - 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.6.3.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.3.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 2 B - 1$ con $1$ .

$A = 2 (1) - 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1

Semplifica $2 (1) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$A = 2 - 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.7.2.1.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

Passaggio 1.3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $C = 3 - 2 B$ con $1$ .

$C = 3 - 2 \cdot 1$

$A = 1$

$B = 1$

Passaggio 1.3.7.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.4.1

Semplifica $3 - 2 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.4.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$C = 3 - 2$

$A = 1$

$B = 1$

Passaggio 1.3.7.4.1.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

Passaggio 1.3.8

Elenca tutte le soluzioni.

$C = 1, A = 1, B = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{C}{v + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{v + 2} + \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{1}{v + 1}$

Passaggio 1.5

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$\int \frac{1}{v + 2} + \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{1}{v + 1} d v$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{v + 2} d v + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = v + 2$ . Allora $d u_{1} = d v$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = v + 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $v + 2$ .

$\frac{d}{d v} [v + 2]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $v + 2$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [2]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $2$ rispetto a $v$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = v + 1$ . Allora $d u_{2} = d v$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = v + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $v + 1$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $1$ rispetto a $v$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta ${u_{2}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- 2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Passaggio 8

Sia $u_{3} = v + 1$ . Allora $d u_{3} = d v$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{3} = v + 1$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $v + 1$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $1$ rispetto a $v$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \ln (| u_{3} |) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica.

$\ln (| u_{1} |) - \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{3} |) + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{1} | | u_{3} |) + C$

Passaggio 10.2.2

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$- \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{1} \cdot u_{3} |) + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $v + 1$ .

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| u_{1} \cdot u_{3} |) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $v + 2$ .

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| (v + 2) u_{3} |) + C$

Passaggio 11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $v + 1$ .

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| (v + 2) (v + 1) |) + C$