Calcolo Esempi

$\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x)$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

$d$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Passaggio 1.2

$\frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ e $x$ .

$\int \frac{d x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 2

Poiché $d$ è costante rispetto a $x$ , sposta $d$ fuori dall'integrale.

$d \int \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x^{2} + 2$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x^{2} + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{\frac{3}{2}}$ .

$d \int \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$d (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

$\frac{1}{2}$ e $d$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Passaggio 6.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Sposta $u^{\frac{3}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 6.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Passaggio 6.2.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Passaggio 6.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{2} \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ come $\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 8.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{2} (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $\frac{d}{2}$ per $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d \cdot 2}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 8.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $d$ .

$- \frac{2 \cdot d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 8.2.5

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 8.2.6

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 2$ .

$- \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + C$