Calcolo Esempi

$\frac{1}{1 + \cos (2 x)}$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + \cos (u_{1})$ .

$\int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 4

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (x)$ in $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 5

Usa l'identità pitagorica per trasformare $1$ in $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Sottrai ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ da ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Passaggio 6.2

Somma ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ e ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Passaggio 6.3

Somma $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 7

Moltiplica l'argomento per $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Passaggio 8

Combina.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Passaggio 9

Moltiplica ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Passaggio 10

Riscrivi $\sec (\frac{u}{2})$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 11

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Passaggio 12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Passaggio 13

Moltiplica $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

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Passaggio 13.1

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 13.2

$\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ e $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Passaggio 14

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 15

Riscrivi $\sec (\frac{u}{2})$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 16

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 17

Combina.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Passaggio 18

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

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Passaggio 18.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Passaggio 18.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 19

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 20

Moltiplica per $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

Passaggio 21

Frazioni separate.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Passaggio 22

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ a $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Passaggio 23

Riduci le frazioni.

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Passaggio 23.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Passaggio 23.2

$\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

Passaggio 24

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1})$

Passaggio 25

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , quindi $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 25.1.1

Differenzia $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Passaggio 25.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{u_{1}}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 25.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 25.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 25.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

Passaggio 26

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2})$

Passaggio 26.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2})$

Passaggio 26.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 27

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 28

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 28.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 28.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 28.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 28.3

Moltiplica $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 29

Poiché la derivata di $\tan (u_{2})$ è $\sec^{2} (u_{2})$ , l'integrale di $\sec^{2} (u_{2})$ è $\tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u_{2}) + C)$

Passaggio 30

Semplifica.

$\frac{1}{2} \tan (u_{2}) + C$

Passaggio 31

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 31.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C$

Passaggio 31.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

Passaggio 32

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.1

Riduci l'espressione $\frac{2 x}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 32.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

Passaggio 32.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{x}{1}) + C$

Passaggio 32.2

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \tan (x) + C$