Calcolo Esempi

$3 e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Allora $d u_{2} = - 15 e^{- 3 x} d x$ , quindi $- \frac{1}{15} d u_{2} = e^{- 3 x} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$\frac{d}{d x} [7 + 5 e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 + 5 e^{- 3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 e^{- 3 x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

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Passaggio 2.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- 3 x$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 2.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + 5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 2.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 3 x$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 2.1.3.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1))$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \cdot - 3)$

Passaggio 2.1.3.6

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{- 3 x}$ .

$0 + 5 (- 3 \cdot e^{- 3 x})$

Passaggio 2.1.3.7

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$0 - 15 e^{- 3 x}$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $15 e^{- 3 x}$ da $0$ .

$- 15 e^{- 3 x}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 \int {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 15} d u_{2}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 \int {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{15}) d u_{2}$

Passaggio 3.2

${u_{2}}^{2}$ e $\frac{1}{15}$ .

$3 \int - \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (- \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2})$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{15}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{15}$ fuori dall'integrale.

$- 3 (\frac{1}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{15}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $15$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ come $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 5} {u_{2}}^{3} + C$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$- \frac{1}{15} {u_{2}}^{3} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$- \frac{1}{15} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{3} + C$