Calcolo Esempi

$4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x^{4} + 3$ . Allora $d u = 12 x^{3} d x$ , quindi $\frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x^{4} + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} + 3]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{3} + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $12 x^{3}$ e $0$ .

$12 x^{3}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$4 \int u^{9} \frac{1}{12} d u$

Passaggio 3

$u^{9}$ e $\frac{1}{12}$ .

$4 \int \frac{u^{9}}{12} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{12}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{12} \int u^{9} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{12}$ e $4$ .

$\frac{4}{12} \int u^{9} d u$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (1)}{12} \int u^{9} d u$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \int u^{9} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{9}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 10} u^{10} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $3$ per $10$ .

$\frac{1}{30} u^{10} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$