Calcolo Esempi

$5 \sqrt{x^{2} + 6}$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int \sqrt{x^{2} + 6} d x$

Passaggio 2

Sia $x = \sqrt{6} \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{6} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t) \sqrt{6}$ è positivo.

$5 \int \sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{6} \tan (t)$ .

$5 \int \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$5 \int \sqrt{6^{1} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.1.2.5

Calcola l'esponente.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.1.3

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{1}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.1.3.5

Calcola l'esponente.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $6$ da $6 \tan^{2} (t) + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Scomponi $6$ da $6 \tan^{2} (t)$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.2.2

Scomponi $6$ da $6$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.2.3

Scomponi $6$ da $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$5 \int \sqrt{6 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.4

Riordina $6$ e $\sec^{2} (t)$ .

$5 \int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$5 \int \sec (t) \sqrt{6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$5 \int \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Passaggio 3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \int {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Passaggio 3.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Passaggio 3.2.4

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) d t$

Passaggio 3.2.5

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) d t$

Passaggio 3.2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{1 + 1} d t$

Passaggio 3.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{2} d t$

Passaggio 3.2.8

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sec^{3} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Passaggio 3.2.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Passaggio 3.2.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

Passaggio 3.2.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

Passaggio 3.2.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{1} d t$

Passaggio 3.2.8.5

Calcola l'esponente.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6 d t$

Passaggio 3.2.9

Sposta $6$ alla sinistra di $\sec^{3} (t)$ .

$5 \int 6 \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 4

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$5 (6 \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 5

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $6$ per $5$ .

$30 \int \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 5.2

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{3} (t)$ .

$30 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Passaggio 7

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 8

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Somma $1$ e $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 10.2

Riordina $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Passaggio 11

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Passaggio 12

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 12.3

Riordina $\sec (t)$ e $- 1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 13

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 14

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Passaggio 16

Somma $1$ e $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 17

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Passaggio 18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Passaggio 19

Somma $2$ e $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 20

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 21

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 22

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 23

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Applica la proprietà distributiva.

$30 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 23.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 24

Risolvendo $\int \sec^{3} (t) d t$ , troviamo che $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Passaggio 25

Moltiplica $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ per $1$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Passaggio 26

Semplifica.

$30 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 27

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1

$30$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{30}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 27.2

Elimina il fattore comune di $30$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.1

Scomponi $2$ da $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 27.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 27.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 27.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{15}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 27.2.2.4

Dividi $15$ per $1$ .

$15 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 28

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})$ .

$15 (\sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) |)) + C$

Passaggio 29

Riordina i termini.

$15 (\sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) |)) + C$