Calcolo Esempi

$\frac{x - z}{y + z}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Poiché $x - z$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x - z}{y + z}$ rispetto a $y$ è $(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$ .

$(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{1}{y + z}$ come ${(y + z)}^{- 1}$ .

$(x - z) \frac{d}{d y} [{(y + z)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y + z$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y + z$ .

$(x - z) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y + z])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(x - z) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + z$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + z$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]))$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d y} [z]))$

Passaggio 3.3

Poiché $z$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $z$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + 0))$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \cdot 1)$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2})$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori di $(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$ .

$- (x - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(- x - - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- - z$ .

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(- x + 1 z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $z$ per $1$ .

$(- x + z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- x + z$ per $\frac{1}{{(y + z)}^{2}}$ .

$\frac{- x + z}{{(y + z)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) + z}{{(y + z)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Scomponi $- 1$ da $z$ .

$\frac{- (x) - 1 (- z)}{{(y + z)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- z)$ .

$\frac{- (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Riscrivi $- (x - z)$ come $- 1 (x - z)$ .

$\frac{- 1 (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x - z}{{(y + z)}^{2}}$