Calcolo Esempi

${(\frac{e^{y} - e^{- y}}{2})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$2 \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

$2$ e $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Passaggio 2.2.2

Dividi $e^{y} - e^{- y}$ per $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Passaggio 2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}])$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{y} - e^{- y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ è $a^{y} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- e^{- y}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - \frac{d}{d y} [e^{- y}])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- y$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y]))$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y]))$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- y$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]))$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 6.2

Moltiplica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + 1 e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \cdot 1)$

Passaggio 6.4

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$(e^{y} \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

Passaggio 7.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.2.1

$e^{y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{e^{y}}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

Passaggio 7.2.2

$\frac{1}{2}$ e $e^{- y}$ .

$(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

Passaggio 7.3

Riordina i fattori di $(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$ .

$(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.4

Espandi $(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 7.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 7.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.5.1.1

Moltiplica $e^{y} \frac{e^{y}}{2}$ .

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Passaggio 7.5.1.1.1

$e^{y}$ e $\frac{e^{y}}{2}$ .

$\frac{e^{y} e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5.1.1.2

Moltiplica $e^{y}$ per $e^{y}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.5.1.1.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{y + y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5.1.1.2.2

Somma $y$ e $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{2 y}}{2} - e^{y} \frac{e^{- y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5.1.3

Moltiplica $- e^{y} \frac{e^{- y}}{2}$ .

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Passaggio 7.5.1.3.1

$\frac{e^{- y}}{2}$ e $e^{y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5.1.3.2

Moltiplica $e^{- y}$ per $e^{y}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.5.1.3.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5.1.3.2.2

Somma $- y$ e $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5.1.3.3

Semplifica $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5.1.4

Moltiplica $e^{- y} \frac{e^{y}}{2}$ .

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Passaggio 7.5.1.4.1

$e^{- y}$ e $\frac{e^{y}}{2}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5.1.4.2

Moltiplica $e^{- y}$ per $e^{y}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.5.1.4.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5.1.4.2.2

Somma $- y$ e $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5.1.4.3

Semplifica $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Passaggio 7.5.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$

Passaggio 7.5.1.6

Moltiplica $- e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$ .

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Passaggio 7.5.1.6.1

$\frac{e^{- y}}{2}$ e $e^{- y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y} e^{- y}}{2}$

Passaggio 7.5.1.6.2

Moltiplica $e^{- y}$ per $e^{- y}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.5.1.6.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y - y}}{2}$

Passaggio 7.5.1.6.2.2

Sottrai $y$ da $- y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

Passaggio 7.5.2

Somma $- \frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} + 0 - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

Passaggio 7.5.3

Somma $\frac{e^{2 y}}{2}$ e $0$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$