Calcolo Esempi

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(y + x)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ e $g (y) = {(y + x)}^{2}$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{({(y + x)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y + x)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Poiché $e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y e^{x}$ rispetto a $y$ è $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Poiché $x e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x e^{x}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 2.7

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 2.8

Poiché $- e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- e^{x}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 2.9

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = y + x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y + x$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 u \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + x$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 (y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 4.2

Scomponi $y + x$ da ${(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $y + x$ da ${(y + x)}^{2} e^{x}$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $y + x$ da $- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $y + x$ da $(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

Passaggio 5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Scomponi $y + x$ da ${(y + x)}^{4}$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{3}}$

Passaggio 6

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

Passaggio 8

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + 0)}{{(y + x)}^{3}}$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \cdot 1}{{(y + x)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x}) - 2 (x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 y e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Passaggio 10.3.2

Sottrai $2 y e^{x}$ da $y e^{x}$ .

$\frac{- y e^{x} + x e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Passaggio 10.3.3

Sottrai $2 x e^{x}$ da $x e^{x}$ .

$\frac{- y e^{x} - x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Passaggio 10.4

Riordina i termini.

$\frac{- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Passaggio 10.5

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}$ .

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Passaggio 10.5.1

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} y$ .

$\frac{e^{x} (- y) - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Passaggio 10.5.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Passaggio 10.5.3

Scomponi $e^{x}$ da $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

Passaggio 10.5.4

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (- y) + e^{x} (- x)$ .

$\frac{e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

Passaggio 10.5.5

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (- y - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Passaggio 10.6

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{e^{x} (- (y) - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Passaggio 10.7

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{e^{x} (- (y) - (x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Passaggio 10.8

Scomponi $- 1$ da $- (y) - (x)$ .

$\frac{e^{x} (- (y + x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Passaggio 10.9

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{e^{x} (- (y + x) - 1 (- 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Passaggio 10.10

Scomponi $- 1$ da $- (y + x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{e^{x} (- (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Passaggio 10.11

Riscrivi $- (y + x - 2)$ come $- 1 (y + x - 2)$ .

$\frac{e^{x} (- 1 (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Passaggio 10.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{x} (y + x - 2)}{{(x + y)}^{3}}$