Calcolo Esempi

$y = x {(x^{4} + 7)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{4} + 7)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 7)}^{3}] + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{4} + 7$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 7$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 7$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$x (12 {(x^{4} + 7)}^{2} x^{3}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} x^{1} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3 + 1} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6

Somma $3$ e $1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 8

Moltiplica ${(x^{4} + 7)}^{3}$ per $1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Scomponi ${(x^{4} + 7)}^{2}$ da $x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3}$ .

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Passaggio 9.1.1

Scomponi ${(x^{4} + 7)}^{2}$ da $x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2})$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{3}$

Passaggio 9.1.2

Scomponi ${(x^{4} + 7)}^{2}$ da ${(x^{4} + 7)}^{3}$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} + 7)$

Passaggio 9.1.3

Scomponi ${(x^{4} + 7)}^{2}$ da ${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} + 7)$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12) + x^{4} + 7)$

Passaggio 9.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 9.2.1

Sposta $12$ alla sinistra di $x^{4}$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (12 \cdot x^{4} + x^{4} + 7)$

Passaggio 9.2.2

Somma $12 x^{4}$ e $x^{4}$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (13 x^{4} + 7)$

Passaggio 9.3

Riscrivi ${(x^{4} + 7)}^{2}$ come $(x^{4} + 7) (x^{4} + 7)$ .

$(x^{4} + 7) (x^{4} + 7) (13 x^{4} + 7)$

Passaggio 9.4

Espandi $(x^{4} + 7) (x^{4} + 7)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 9.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{4} (x^{4} + 7) + 7 (x^{4} + 7)) (13 x^{4} + 7)$

Passaggio 9.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 7 + 7 (x^{4} + 7)) (13 x^{4} + 7)$

Passaggio 9.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Passaggio 9.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 9.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.5.1.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.5.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Passaggio 9.5.1.1.2

Somma $4$ e $4$ .

$(x^{8} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Passaggio 9.5.1.2

Sposta $7$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$(x^{8} + 7 \cdot x^{4} + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Passaggio 9.5.1.3

Moltiplica $7$ per $7$ .

$(x^{8} + 7 x^{4} + 7 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$

Passaggio 9.5.2

Somma $7 x^{4}$ e $7 x^{4}$ .

$(x^{8} + 14 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$

Passaggio 9.6

Espandi $(x^{8} + 14 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{8} (13 x^{4}) + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.7.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$13 x^{8} x^{4} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7.2

Moltiplica $x^{8}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.7.2.1

Sposta $x^{4}$ .

$13 (x^{4} x^{8}) + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$13 x^{4 + 8} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7.2.3

Somma $4$ e $8$ .

$13 x^{12} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7.3

Sposta $7$ alla sinistra di $x^{8}$ .

$13 x^{12} + 7 \cdot x^{8} + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{4} x^{4} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7.5

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.7.5.1

Sposta $x^{4}$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 (x^{4} x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{4 + 4} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7.5.3

Somma $4$ e $4$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{8} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7.6

Moltiplica $14$ per $13$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7.7

Moltiplica $7$ per $14$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7.8

Moltiplica $13$ per $49$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 49 \cdot 7$

Passaggio 9.7.9

Moltiplica $49$ per $7$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 343$

Passaggio 9.8

Somma $7 x^{8}$ e $182 x^{8}$ .

$13 x^{12} + 189 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 343$

Passaggio 9.9

Somma $98 x^{4}$ e $637 x^{4}$ .

$13 x^{12} + 189 x^{8} + 735 x^{4} + 343$