Calcolo Esempi

$y = x {(6 - 2 x)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(6 - 2 x)}^{2}$ come $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((6 - 2 x) (6 - 2 x))]$

Passaggio 2

Espandi $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (6 (6 - 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 x (- 2 x))]$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x + 4 x^{2})]$

Passaggio 3.2

Sottrai $12 x$ da $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (36 - 24 x + 4 x^{2})]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 36 - 24 x + 4 x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [36 - 24 x + 4 x^{2}] + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $36 - 24 x + 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.2

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.4

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$x (- 24 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- 24 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (- 24 + 4 (2 x)) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.9

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

Passaggio 5.11

Moltiplica $36 - 24 x + 4 x^{2}$ per $1$ .

$x (- 24 + 8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot - 24 + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.2.1

Sposta $- 24$ alla sinistra di $x$ .

$- 24 \cdot x + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 6.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 6.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 24 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 6.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 24 x + 8 x^{1 + 1} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 6.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$- 24 x + 8 x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

Passaggio 6.2.6

Sottrai $24 x$ da $- 24 x$ .

$- 48 x + 8 x^{2} + 36 + 4 x^{2}$

Passaggio 6.2.7

Somma $8 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$- 48 x + 12 x^{2} + 36$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$12 x^{2} - 48 x + 36$