Calcolo Esempi

$y = x (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ .

$x \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 3 x^{2} - 6] + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$x (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x (12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (12 x^{2} + 6 x + 0) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.9

Somma $12 x^{2} + 6 x$ e $0$ .

$x (12 x^{2} + 6 x) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (12 x^{2} + 6 x) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \cdot 1$

Passaggio 2.11

Moltiplica $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ per $1$ .

$x (12 x^{2} + 6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (12 x^{2}) + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Passaggio 3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 (x^{1} x^{2}) + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Passaggio 3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x^{1 + 2} + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Passaggio 3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$12 x^{3} + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Passaggio 3.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 x^{3} + 6 (x^{1} x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Passaggio 3.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 x^{3} + 6 (x^{1} x^{1}) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Passaggio 3.2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x^{3} + 6 x^{1 + 1} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Passaggio 3.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$12 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Passaggio 3.2.8

Somma $12 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{2} - 6$

Passaggio 3.2.9

Somma $6 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$16 x^{3} + 9 x^{2} - 6$